【期望和方差公式】在概率論與統(tǒng)計學中，期望和方差是描述隨機變量基本特征的兩個重要概念。期望反映了隨機變量的平均值或長期趨勢，而方差則衡量了隨機變量與其期望之間的偏離程度。以下是關于期望和方差的常用公式總結。
一、期望（Expectation）
期望是隨機變量在所有可能取值上的加權平均，權重為相應的概率。
1. 離散型隨機變量的期望
設 $ X $ 是一個離散型隨機變量，其可能取值為 $ x_1, x_2, ..., x_n $，對應的概率分別為 $ p_1, p_2, ..., p_n $，則期望公式為：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 連續(xù)型隨機變量的期望
設 $ X $ 是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為 $ f(x) $，則期望公式為：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示隨機變量與其期望之間的偏離程度，數(shù)值越大，說明數(shù)據(jù)越分散。
1. 方差的定義式
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
2. 方差的簡化計算公式
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常見分布的期望與方差公式
以下是一些常見的概率分布及其對應的期望和方差公式：
| 分布類型 | 概率質量/密度函數(shù) | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二項分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均勻分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正態(tài)分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指數(shù)分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、期望與方差的性質
1. 線性性：
$ E(aX + b) = aE(X) + b $，其中 $ a, b $ 為常數(shù)。
2. 方差的線性性質：
$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $
3. 獨立變量的方差：
若 $ X $ 和 $ Y $ 相互獨立，則
$ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $
五、小結
期望和方差是統(tǒng)計分析中不可或缺的工具，它們幫助我們理解數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度。掌握這些公式的應用，有助于在實際問題中進行更準確的概率建模和數(shù)據(jù)分析。
通過表格形式可以快速查閱不同分布的期望和方差，提高學習和應用效率。希望本文能為學習概率統(tǒng)計的同學提供參考和幫助。